Finanzmathematische Grundlagen dynamischer Investitionsrechenverfahren 1

Prozentrechnung

• Grundwert G
  • Das Ganze
• Prozentwert W
  • Teile das Ganzen
• Prozentsatz -in Prozent ausgedrückter Anteil

Zins und Zinsrechnung

• Der Zins stellt den Preis für die Überlassung von Kapital für eine bestimmte Zeitdauer dar. Bieg et al. (2016), S. 74
• Sparen bedeutet Konsumverzicht, gegenwärtiger Konsum wird höher geschätzt als zukünftiger
• für Konsumverzicht wird Entschädigung in Form von Zinszahlungen verlangt

Bedeutung des Zinses (Risikogesichtspunkt)

• Differenz zwischen Effektivverzinsung einer Unternehmensanleihe und ausfallrisikofreien von Staatsanleihen wird Kreditrisikoprämie genannt
• Höhe der Risikoprämie abhängig von Bonität des Schuldners
• Bonitätsrisiko = Bewertung der Zinszahlungs- und Schuldentilgungsfähigkeit

Zinsrechnung

• Standartfall

  • nachschüssige Verzinsung
  • Zinsperiode 1 Jahr
  • Bezugsgröße ist Anfangskapital, Kapital zu Beginn der jeweiligen Zinsperiode

• Zinsverrechnung unterscheidung in

  • Einfacher Verzinsung
    • Zinsansprüche nach der Zinsperiode dem zinstragenden Kapital nicht zugeschlagen
  • Zinseszinsrechnung
    • Zinsansprüche nach der Zinsperiode dem zinstragenden Kapital zugeschlagen

Einfache Zinsrechnung

\[ Z_t = Zinsen \ für \ Zeitraum \ t = Kapital * Zinssatz * Laufzeit \]

• in Deutschland
  • Jahr hat 360 Tage
  • Monat hat 30 Zinstage
• deshalb auch

\[ Z_t = Zinsen \ für \ Zeitraum \ t = Kapital * Zinssatz * \frac{Zinstage}{360} \]

wobei Zinssatz

\[ Zinssatz = \frac{Zinssatz \ in \ Prozent}{100} \]

Beispiel

• 500 Euro Sparkonto
• 3% p.a. verzinst
• Wie viele Euro Zinsen nach einem Jahr

\[ Z_t = Kapital * \frac{3}{100} * Laufzeit \newline Z_t = 500 * \frac{3}{100} * 1 \newline Z_t = 15 \]

Zinseszinsrechnung

• wenn Kapital über mehrere Perioden angelegt wird, wird am Jahresende fälliger Zins angesammelt und in Folgejahren mitverzinst, Zinsen auf Zinsen

\[ K_1 = Ende \ Jahr \ 1 = K_0 + Z_1 = K_0 * (1 + Zinssatz) \newline K_2 = Ende \ Jahr \ 2 = K_1 + Z_2 = K_1 * (1 + Zinssatz) = K_0 * (1 + Zinssatz)^2 \]

Kapital des n-ten Jahres

\[ K_n = K_0 * (1 + Zinssatz)^n \]

Rendite festverzinslicher Wertpapiere

• Schuldverschreibungen sind Wertpapiere die Forderungen verkörpern
• Inhaber hat grundsätzlich Anspruch auf Zinsen und Rückzahlungen

Näherungsformel zur Ermittlung der Rendite

\[ i_{eff} = \frac{Nominalzins + \frac{Ausgabekurs - Rückzahlungskurs}{Laufzeit \ in \ Jahren} }{Ausgabekurs} * 100% \]

Rendite mittel Excel berechnen (Excel-Funktion Rendite)

Zeitwert des Geldes

• 1 Euro heute != 1 Euro in der Zukunft
• Zeitwert: Wert einer Zahlung zum Zeitpunkt ihres Entstehens. Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten entstehen können nicht anhand ihres Zeitwertes verglichen werden, da der Zeitwert nicht den zeitlichen Bezug der Zahlung berücksichtigt.

Vgl. Berk/DeMarzo (2016), S. 78; Pape (2018), S. 49

Der Zinssatz als „zeitübergreifender Wechselkurs“

• ermöglicht es Geld von einem Zeitpunkt zum andere zu wechseln
• heutiges Geld durch Einzahlen auf Sparkonto ohne Risiko in zukünftiges Geld umwandeln
• durch aufnehmen von Geld bei einer Bank kann zukünftiges Geld in heutiges Geld umgewandelt werden

Endwert und Barwert

Endwert (aufzinsen)

• Wert in zukünftigen Euro, Endwert (EW) der Investition
• Der Endwert ist der Wert einer Zahlung, die für n Jahre zum Zinssatz i angelegt wurde. Errechnet wird der Endwert, indem der Zeitwert der ursprünglichen Zahlung mit dem Zinssatz i über die Laufzeit n aufgezinst wird.

\[ EW_n = Zahlung \ zum \ Zeitpunkt \ 0 * (1 + Zinssatz)^Laufzeit \]

Vgl. Berk/DeMarzo (2016), S. 80; Pape (2018), S. 49

Endwert mit Excel berechnen

Barwert (abzinsen)

• Wert in heutigen Euro, Barwert (BW) der Investition
• Der Barwert ist der finanzmathematische Gegenpol zum Endwert. Als Barwert wird der heutige Wert einer zukünftigen Zahlung bezeichnet. Zur Berechnung wird die zu ihrem Zeitwert angesetzte Zahlung mit dem Zinssatz i über die Laufzeit n abgezinst („diskontiert“).
• Der Barwert beantwortet die Frage: Welchen Betrag muss ein Investor heute investieren, um nach n Jahren über das Endvermögen zu verfügen?

\[ BW_0 = Zahlung \ zum \ Zeitpunkt \ n * (1 + Zinssatz)^{-Laufzeit} \]

Vgl. Berk/DeMarzo (2016), S. 80; Pape (2018), S. 50

Barwert mit Excel berechnen